Szlachcic wszedł do wieży pośrodku swych włości by ustrzelić wronę co gniazdo tam sobie uwiła. Ta jednak odfruwała ilekroć do wieży wchodził, i z bezpiecznej odleglości widoku człowieka opuszczającego wieżę wyczekiwała. Obmyślił więc sobie, że z sąsiadem przyjdzie, do wieży razem wejdą, a po czasie jakim sąsiad sam wyjdzie. Wrona jednakże liczyć umiała i nie pomogło na przemian wieży opuszczanie. Proste działanie 1+1=2 uratowało wronie życie.
Później szlachcic do wieży wrócił z dwoma przybocznymi, i trzema, i czterema, lecz wrony nie oszukał. Dopiero gdy do wieży sześciu chłopa weszło i pięciu ja opuścilo, szósty wronę ustrzelił.
Taką historyjkę przekazuje dziewiętnatowieczny pamiętnik, a współcześni biolodzy zdają się jej wierzyć.
---Co to znaczy, że 1 + 1 = 2 ?
---Ile jest 1+1, każdy wie. Tzn, wie każde dziecko --- i żaden filozof. Bo kłopotu przysporzyło to równanko nie małego. I w ogóle, przechadzka przez Jatki wrocławskie, to przygoda metafizyczno-filozoficzno-humorystyczna. Przechodzisz przez bramę, a tu pytania kosmiczne:
---co to za rodzaj prawdy, że 1+1=2?
---czy to można udowodnić, czy wierzyć trzeba?
---czy na innych planetach 1+1 to też 2?
Nie wiem jak inni wielbiciele Tablicy, ale ja nie umiem się powstrzymać przed palców wyginaniem by sprawdzić raz jeszcze, czy co wczoraj prawdą było, jest i dzisiaj ... No bo czy Tablica na Jatkach mogłaby oznajmiać coś innego?
O wyższości Geta nad Leibnizem
Gdyby to Leibniz miał wystawić Tablicę ku Czci, to pewnie wygladała by ona tak
1 + 1 = 10
i powstała by najprawdopodobniej dokładnie 300 lat temu. Gottfried Wilhelm von Leibniz był nie tylko wielkim matematykiem i filozofem siedemnastego wieku (Fryderyk Wielki nazywał Leibniza ---całą akademią w jednej osobie") ale także mistykiem (jakim każdy wielki twórca Europy był --- tyle, że ukrywać to musiał). Jednym z jego odkryć byly liczby binarne. Leibniz był zdumiony swoim odkryciem i przypisywał mu metafizyczne znaczenie. Można go zrozumieć gdy się samemu trochę pitagorejczykiem jest; wszystko jest liczbą, a te dwie --- 0 i 1 --- reprezentować mogą podstawową dychotomię coś versus nic (byt albo nie-byt). Leibniz był przekonany, że jego system modeluje "stworzenie z niczego" i tym samym stanowi dowód chrześcijańskiej doktryny kreacjiex nihilo.
W Noworocznym liście życzeniowym do Księcia Rudolfa Augusta Brunswickiego (2 Stycznia 1697) Leibniz prosi o fundusze na wydanie srebrnego medalionu z wzorem glorifikującym liczby binarne. Wydany on został ostatecznie w 1734 roku.
Pośród pierwszych siedemnastu liczb zapisanych jedynką i zerem jest rysunek horyzontu odzielający odwieczne wody od słonecznych promieni reprezentujacych stwarzający oddech Stwórcy. Inskrypcja poniżej wyjaśnia niedowiarkom imago creationis, "obraz stworzenia." W górnej części da się przeczytać: omnibus ex nihiLo duecendis sufficit unum, czyli "by wszystko wyprowadzić z niczego, jedynka wystarcza."
Ale bądźmy uczciwi --- dziś wiemy, że liczby binarne to tylko inny sposób zapisu, i że "1+1=10" przetłumaczone na język rzucanych kamyczków oznacza ciągle to samo, bo nasze "2" jako "10" Leibniz zapisuje. Medalion Leibniza gloryfikuje tylko formalny zapis --- a tymczasem filozoficzna refleksja w samym równaniu siedzi, co Tablica ku Czci skromnie oznajmia.
Kamyczki, patyczki, paluszki --- dygresja
Równanie 1+1=2 reprezentuje dodawanie kamyczków. Albo palców. Znany neurolog Ramachandran opisuje w swojej książce Phantoms in the Brain pacjenta Billa cierpiącego na dyskalkulie (nieumiejętność przeprowadzenia najprostszych działań arytmetycznych) Bill, tak jak wielu innych z tą dolegliwością, nie potrafi także nazwać palców które mu lekarz pokazuje badź dotyka (fingeragnozja). Czy wynoszony stąd wniosek, że te dwie funkcje zajmują w mózgu sąsiednie regiony ma jakieś ewolucyjne implikacje?
Platona zaklopotanie
Co dla wrony oczywiste było, nie koniecznie jest dla czlowieka.
Oto jeden z nas, Platon, wyznaje w zakłopotaniu
(ustami Sokratesa w rozmowie z przyjacielem Cebesem w Phaedo):
---Myślałem, że me poglądy były zadowalające,
że kiedy duży człowiek obok małego stoi, jest
on wyższy o głowę, czy też koń wyższy
byłby o głowę. Jeszcze bardziej oczywiste było mi,
że 10 jest więecej od 8 dlatego, że 2 musi być
dodane, czy też, że rozmiar 2 łokci dłuższy
jest od łokcia bo wystaje o połowę swej długości.
---A co myślisz o tym teraz ? --- zapytał Cebes.
---Że daleki jestem, na Zeusa, od wiary, że znam przyczyny tych rzeczy.
Nie pozwoliłbym sobie nawet orzec, gdy 1 jest dodane do 1, czy to 1 do
którego dodano --- czy też to 1 które jest dodane --- zostaje dwójką.
Zdumiewa mnie, że kiedy każda z nich jest osobno, każda jest
jedynka, lecz gdy je zbliżyć, dwójka się stają; że przyczyną jest proste zniesienie i zestawienie w bliskości.
Także nikt juz mnie nie przekona, że kiedy rzecz jest podzielona,
to przyczyną stania się dwoma jest podział, no bo tym razem powstanie
dwójki ma przyczynę odwrotną! Straciłem wiarę, że wiem
dlaczego jedność---czy cokolwiek innego---może powstać, badź
zniknąć, badź istnieć, posługując się starymi metodami
dochodzenia. I nie akceptuję tego, ale mam własne pogmatwane rozwiązanie ...
że to Umysł jest przyczyną tego wszystkiego.
Powikłana historia prawdy w 1+1=2 ukrytej
Czy da się 1+1=2 udowodnić? No bo tak: albo się upieramy, że tabliczki dodawania trzeba się nauczyć na pamięć tak jak nazw kolorów czy rzek w krajobrazie, albo arytmetyka powiewa czymś bardziej uniwersalnym, przedustawnym, podstawowym. Jeśli to drugie, jeśli rzeczywiście 1 i 1 jest 2 w sposób absolutny a nie ludzki, to co to za rodzaj prawdy?
1. Arystoteles drogę pokazuje. Ponad dwa tysiące lat temu Arystoteles przyuczył nas, że z prawdą to tak: bierze się parę wypowiedzi i ich prawdziwości się nie kwestionuje (co najwyżej ich przydatność) --- to są aksjomaty. Całą resztę wypowiedzi trzeba juz odowodnić --- to są twierdzenia.
Sto lat poźniej, Euklides przepisał w tym duchu geometrię: pojęcia takie jak punkt i linia wystarczały, a z pięciu aksjomatów wyprowadzić można było wszystko wedle czego piramidy zbudowano. Książka jego stała się światowym bestsellerem, i do dzisiaj jest w pierwszej dziesiątce pod względem ogolnego nakładu.
2. Dedekind mowi, że to definicja. Arytmetyka czekała dłużej. W 1888 roku Ryszard Dedekind zaproponował pięć aksjomatów dla arytmetyki (znane są one jako aksjomaty Peano) --- wszyskie własności liczb tam nie wymienione mają z tych pięciu wynikać siłą rozumu tylko. Jeden z aksjomatów mowi że istnieje zero. Inny, dla każdej liczby n istnieje jej nastepnik, oznaczany n+1. No i w tym ujęciu 1+1=2 stało się nie aksjomatem, a więc prawdą przedustawną, ale definicją dwojki -- i nie ma tu czego udawadniać! "2" to tylko, "następnik jedynki," a 1+1=2 to tylko metryczka urodzenia. Dedekind byłby pewnie raczej skłonny widzieć na Jatkach
2 = 1 + 1
ale reką by na to przy przechodzeniu machał. Udowodnić można za to, że 2+2=4, co tabelka na końcu niedowierzającym pokazuje.
3. Russel mowi, że to rzecz wtórna. Nie wszystkim taka degradacja "1+1=2" się podobała. David Hilbert --- jeden z największych tytanów matematyki początku tego wieku --- przekonał wielu, że matematyka to forma czysta. Tak jak Witkacy uparł się przy swym programie formy czystej w teatrze --- Hilbert namawiał by całą matematykę przepisać w tych samych kategoriach. W tym modernistycznym nastroju Bertrand Russell podjął się ogromnego wysiłku wyprowadzenia arytmetyki (a więc tym samym i wszelkiej innej matematyki) prosto z logiki. Więc stworzenie świata wyglądało by tak: w pierwszy dzień --- logika, w drugi --- arytmetyka z logiki, w następny --- matematyka z arytmetyki; a w resztę tygodnia --- reprezentacje tejże w materialnych konkretach. (Tu Pitagorejczycy by się zgodzili, bo oni pierwsi uważali, że wszystko liczbą mistycznie jest podszyte.)
No i gdzieś pod koniec pewnie drugiego tomiska swej słynnej i ogromnej pracy Principia Mathematica, (1913) pośród tysięcy robaczków zapisu sformalizowanej logiki, Russell i Whitehead udowadniają, że 1+1=2.
Zatem, Russell by raczej na Jatkach wystawil
1 + 1 = 1
czyli "prawda" i "prawda" "prawdę" dają (bo 1 prawdę w logice oznacza), uznając tym supremacje logiki nad arytmetyka. Twierdzenie arytmetyczne "1+1=2" byłoby do nabycia obok w galerii.
4. Gödel w ruinę to obraca. Lecz szczeście Russella i Whiteheada trwa krótko.... Ledwie prasy drukarskie stygną, a tu 25-letni Kurt Gödel publikuje zdumiewające i rewolucyjne twierdzenie. Jego sens jest taki, że Arystotelesowska metoda --- na której pół naszej kultury intelektualnej stoi --- tak na prawdę to nie ma podstaw. Jest rok 1931, 2300 lat po Arystotelesie. Twierdzenie Gödla mowi, że:
- Arytmetyka (a i inne systemy formalne) nie może być
udowoniona niesprzeczną! Tzn, na przykład, nigdy nie możemy
być pewnymi, że ktoś kiedyś nie otrzyma wyniku 1+1=7, jeśli
tylko drogą wielce okreżną do tego dochodził będzie.
- Istnieją prawdy które nie mają dowodu. Ich prawdziwości tylko domyslać się można --- lecz bez większych szans na wstawienie ich do podręczników.
No ale to nie oznacza, że 1 i 1 nie jest 2. Raczej --- że pojęcie prawdy nie jest takie oczywiste. Gdyby opieka nad Geta Tablicą ku Czci pozostawiona została Gödlowi, ten zapewne utrzymał by ją w postaci bliskiej jej wspołczesnemu wyglądowi:
1+1 = *
t.j., z dziurką, a dwojkę donosiłby codziennie rano po sprawdzeniu prasy, że nikt jeszcze temu nie zaprzeczył.
Inne rzeczywistości
(metafizycznej zarys opowiastki)
Problem jest być może jeszcze inny. Wróćmy do pytania co alternatywnego mogłoby na Jatkach wisieć w jakiejś rownoległej innej rzeczywistości.
Matematyka i jej cudowności są przez wiekszość matematyków rozumiane na sposob bliski Platonowi. Stwierdzenie, że 1+1=2 jest reprezentacją czegoś co istnieje w innym planie, w rzeczywistości Ideii której to rzeczywistości cieniem jesteśmy. A więc 1+1=2, jak i każde inne twierdzenie czy to arytmetyki czy to geometrii, ma wymiar ponad-doczesny.
Czy mogłaby istnieć inna matematyka? Henri Poincare zasugerował kiedyś, że różne gatunki zwierząt mogłyby rozwinąć matematykę inną niż ta którą znamy. Co wisiałoby na Jatkach gdyby Wrocław zaludniały (zakocały) koty? Albo dalej -- jaka byłaby matematyka dinozaurów?
Przypomnijmy sobie wronę. Wrona przetrwała aż do 1+1+1+1+1=5. No tak, wychowana w tej samej rzeczywistości, w podobnym środowisku planetarnym, wyewoluowała z tą samą praktyczną wiedzą: że 1+1=2. I jeśli rzeczywiście ptactwo to pozotalość po dinozaurach, gady te wytworzyłyby zapewne tę samą arytmetykę a następnie matematykę co i my, gdyby im szansa rozwinięcia cywilizacji i kultury nie została z abrana dużym kamieniem, który z przestworzy w płaszcz ziemii 60 milionów lat temu przygrzał i historie tej planety odmienił. Na naszą, ssaków, korzyść.
Ale pytanie można pogłebić: czy matematyka rozumu który wytworzył się w warunkach fundamentalnie innych, w jakichś Lemowskich myślących oceanach, czy pośród ameboidalnych stworzeń gestych niejadalnych zup księżyców Jowisza, czy w warunkach jeszcze bardziej egzotycznych bylaby ta sama co i nasza? Czy 1+1=2 obowiązuje w całym wszechświecie?
Być może nie. Poniższe przykłady są tylko małymi modelami innych możliwości dla celów czysto ilustrujących, a nie prawdziwymi propozycjami. Zapraszam do nich.
1. Świat optycznej zawieruchy. Oto świat stworzeń które rozwinęly się w super-gęstej atmosferze. Duże fluktuacje gęstości powietrza powodują, że obrazy są zniekształcane. Jeśli podstawą przeżycia jest szybka ocena odległości, wzór dla soczewki
1/a + 1/b = 1/c
zostaje wkodowany w aparat myślowy ewolucyjnie. Tu cjest egzotyczną sumą a i b; oznaczmy ją przez grube + by od naszego + odróżnić. Jeśli liczba w takim świecie zostaje wykonceptualizowana z pojęcia dystansu, to pierwsze działanie uczone w szkołach jest:
1 + 1 = 1/2
2. Świat kwantowy. Ryszard Feynman narzekał często (i słusznie), że ludzie nie doceniają jak bardzo dziwaczna jest rzeczywistość. Nie widzimy tego bo świat rzeczy codziennych operuje na poziome w którym pewna stała, tak zwana stała Planka h, ma niezwykle małą wartość. Jesteśmy "duzi" więc wydaje się nam, że Newton miał rację. Ale gdyby h miało wiekszą wartość, wiele dziwów by się działo: kamień mogłby istnieć w dwu miejscach na raz, przyszłość by widocznie wpływała na przeszłośc, itd., --- nie miejsce tu by je opisywać wszystkie. Jedna rzecz jest dla nas ważna: sposób składania się ze sobą zdarzeń. W kwantowym świecie, jeśli dwa niezależne zdarzenia mogą zajść z prawdopodobienstwem a i b, to ich złożenie nie będzie a+b, lecz raczej
a + b = (Ö a + Ö b)2
gdzie grube + egzotyczna sume oznacza. Oczywiście, wzór ten pokazuje jak do wyniku dojść poprzez naszedodawanie, +. Jednakże urodzeni w świecie kwantowym uczylibyśmy się w pierwszej klasie, że
1 + 1 = 4
i kwantowy Get takąż by kwantową tablicę na kwantowych Jatkach postawił.
3. Świat Urszuli LeGuin. Oto korytarz w zamku załamuje się pod kątem prostym i z korytarza o szerokości a włócznik probuje przenieść się z nieodlączną włócznią do korytarza o szerokości b. Jaki jest rozmiar L najdłuższej włóczni z którą da się przedostać przez załom? Parę linijek równań wystarczy by się przekonać, że
L = (a2/3 + b2/3 ) 3/2
Wyobraźmy sobie, że świat zatrzymał się w rozwoju technologicznym na Średniowieczu jak w fantastycznych powiastkach Urszuli LeGuin. W świecie takim niezliczone zamki tworzą śródowisko ludzkiego żywota. Krwawe zasady selekcji naturalnej faworyzują tylko tych rycerzy którzy dodają wedle tejże 2/3-arytmetyki. Millenia mijają, a tu Get Tablice ku Czci Dzialań Elementarnych samotrzeć wystawia by obwieścić, że
1 + 1 = 2 Ö 2
co każdy i tak wie....
4. Świat przypadkiem zdominowany. Wyobraźmy sobie, że środowisko na pewnej planecie jest wielce przypadkowe i że dominuja w nim procesy statystyczne czy stochastyczne. W takim chaotycznym świecie dewiacja od średniej (rzecz, która statystycy dość ścisle definiują) staje się pierwszą wielkością dostrzegalną i wymierzalną. Lecz dewiacje zdarzeń niezależnych dodają się w ciekawy sposob: trzeba je dodać po podniesieniu do kwadratu, a potem przez pierwiastek w dół sprowadzić. To nowe dodawanie da się przedstawić tak:
a + b =
Ö ( a2 + b2 )
W takim świecie 3 + 4 = 5, a Tablica ku Czci oznajmiałaby, że
1 + 1 =
Ö 2
gdyby się kto przypadkowo jej przyjrzał.
Czym jest 1+1=2 ?
coda
Eugeniusz Wigner, jeden z największych umysłów dwudziestego wieku, zastanowiał się dlaczego matematyka tak świetnie nadaje się do opisu fizycznej, skomplikowanej, rzeczywistości. Myśli swe zapisał w wielce cytowanym (dla trafności jego tytułu) artykule:
Niepojęta Efektywność Matematyki w Naukach Naturalnych.
Nie wiele mógł ponad zdumienie przekazać. Nasz umysł staje się bezradny wobeć tej zagadki. Według Wignera, cud stosowalności języka matematyki dla formulowania praw fizyki jest wspaniałym podarkiem którego ani nie rozumiemy, ani sobie nań zasługujemy.
Więc przechodzisz przez bramę na Jatki, a tu pytania kosmiczne cię dopadają.
Czy można 1+1=2 udowodnić? Zależy. Dedekind nie chciał udawadniać, a jedynie definicją dwójki uczynić. Russell wyprowadził z logiki czystej --- i lata całe mu to zajęło. Gödel pokazał, że robota ta była na nic, bo nic co formalne na aksjomatach się nie ostoi i że drogę arystotelesowką trzeba będzie być może porzucić.
Czy na innych planetach 1 i 1 to też 2? Widzeliśmy, że nie koniecznie. Ale to była metaforyczna zabawa tylko, bo egzotyczne dodawanie za każdym razem dawało się wyrazić naszym, ziemskim, opisem. Jak kostka Rubika, można ja poprzekręcać, ale korpus zostaje ten sam. Nie wiemy czy matematyka bylaby inna, bo wyobraźni nam tu nie staje by nawet przykładem się posłużyć. Chyba, że matematyka jest gdzie indziej wyrazana muzyką (a wtedy Beethoven bez sensu plecie, choć z duszą).
Co to za rodzaj "prawdy," że 1+1=2 ? Nie wiemy. Bo jest w tym coś praktycznego i te prawdę z wroną dzielimy. Ale i jest w tym coś kosmicznego, bo twierdzenia homologii, teorii kategorii, i innych zawiłych i niebosiężnych konstrukcji matematycznych rodowód gdzieś w tym prastarym równaniu mają. Rownanie 1+1=2 leży gdzieś na skrzyżowaniu światów --- platońskiego spoza materii, i dotykalnej reprezentacji w kamyczkach. Gdy stosujemy --- nie zawodzi nas. Lecz gdy je przyskrzynić chcemy, wymyka się ono wszelkim metodom. Za Wignerem, nie wiemy ani co tak na prawdę 1+1=2 oznacza, ani czy nigdy nas nie zawiedzie, ani jaka jest relacja tego "stwierdzenia" do naszego wszechświata w całościowej perspektywie. No nie wiemy.
I dlatego jeśli spotkasz przy Rynku obłędny wzrok przechodnia --- ukłoń się matematykowi.
* * *
A ja widzę to jak nastepuje: jeśli Stworca światy które stworzył trzyma w swych piwnicach ładnie zakorkowane w butelkach, to na naszej butelce jest nalepka "1+1=2" by się z innymi nie myliła. I miłe to, że w naszej galaktyce, więcej --- na naszej planecie, więcej --- w moim mieście, mogę się przejść w niedzielę po starych ulicach i materialną reprezentację tej nalepki zobaczyć na własne oczy i metafizycznie się wzruszyć kosmicznymi jej powiązaniami.